Ecuaciones de Maxwell

Aqui empezaremos a hablar sobre las ecuaciones de Maxwell, que son las ecuaciones que explican toda la teoría electromagnetica, en este post solo mostrare la matematica, en el proximo mostrare la obtencion de las ondas y explicare un poquito de ellas. El punto de este post entonces, es llegar a la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell. Para hacerlo debemos tener en cuenta 2 teoremas: Stokes y Gauss. El primero convierte una integral de linea en una de superficie y el segundo convierte una integral de superficie en una de volumen. Matemáticamente se expresan así:

Stokes: \displaystyle\oint_{l}\vec{F}\cdot d\vec{l}=\int_{s}(\vec{\nabla}\times\vec{F}).d\vec{s}

Gauss: \displaystyle\int_{s}\vec{F}\cdot d\vec{s}=\displaystyle\int_{v}(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})dv

Con estos 2 teoremas expresaremos la leyes de maxwell en su forma diferencial. Comenzaremos por la primera.

1- Ley de Gauss: \displaystyle\oint\vec{E}\cdot d\vec{s}=\displaystyle\frac{q}{\epsilon_{0}}
Acomodando la expresion tenemos  \displaystyle\oint\vec{E}\cdot d\vec{s}=\displaystyle\int\frac{\rho dv}{\epsilon_{0}}.
Y usando Stokes tenemos: \displaystyle\int_{v}(\vec{\nabla}\cdot\vec{E})dv=\displaystyle\int_{v}\frac{\rho dv}{\epsilon_{0}}   =>   \displaystyle\int_{v}\left( (\vec{\nabla}\cdot\vec{E})-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\right) dv=0.
Para que esa integral de cero lo que esta dentro de la integral debe ser cero, entonces nos queda la siguiente expresion: \displaystyle\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}. De esta forma obtenemos el forma diferencial de la ley de Gauss.

2-Ley de Gauss para magnetismo: \displaystyle\oint\vec{B}\cdot d\vec{s}=0.
Aplicando Gauss tenemos: \displaystyle\oint\vec{B}\cdot d\vec{s}=\int_{v}(\vec{\nabla}\cdot\vec{B})dv=0   =>   \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0

3- Ley de Ampère-Maxwell: \displaystyle\oint_{l}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\displaystyle\mu_{0}\left[\int\vec{J}\cdot d\vec{s}+\epsilon_{0}\frac{d}{dt}\int\vec{E}\cdot d\vec{s}\right].
Aplicando Stokes tenemos: \displaystyle\int_{s}(\vec{\nabla}\times\vec{B})\cdot d\vec{s}-\mu_{0}\int\vec{J}\cdot \vec{s}-\epsilon_{0}\frac{d}{dt}\int\vec{E}\cdot d\vec{s}=0.
Sacamos factor comun: \displaystyle\int_{s}\left[\vec{\nabla}\times\vec{B}-\mu_{0}\vec{J}-\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right]\cdot d\vec{s}=0
De aquí: \displaystyle\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J}+\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}

4- Ley de Faraday: \displaystyle\epsilon=\oint\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int_{s}\vec{B}\cdot d\vec{s}
Usando Stokes sobre el campo eléctrico: \displaystyle\oint\vec{E}\cdot d\vec{l}=\int_{s}(\vec{\nabla}\times\vec{E})\cdot d\vec{s}=-\int_{s}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{s}
sacando factor comun: \displaystyle\int_{s}\left[\vec{\nabla}\times\vec{E}+\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\right]\cdot d\vec{s}=0
De aquí: \displaystyle\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}

Entonces nos queda:
1- Ley de Gauss: \displaystyle\oint\vec{E}\cdot  d\vec{s}=\displaystyle\frac{q}{\epsilon_{0}}\rightarrow\displaystyle\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}

2- Ley de Gauss para el magnetismo \displaystyle\oint\vec{B}\cdot d\vec{s}=0\rightarrow\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0

3-Ley de Ampère-Maxwell: \displaystyle\oint_{l}\vec{B}\cdot  d\vec{l}=\displaystyle\mu_{0}\left[\int\vec{J}\cdot  d\vec{s}+\epsilon_{0}\frac{d}{dt}\int\vec{E}\cdot d\vec{s}\right]\rightarrow\displaystyle\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J}+\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial  t}

4- Ley de Faraday: \displaystyle\epsilon=\oint\vec{E}\cdot  d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int_{s}\vec{B}\cdot d\vec{s}\rightarrow\displaystyle\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial  t}.

El próximo post será la deducción de ondas electromagneticas a partir de estas ecuaciones.

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