Convención de Einstein

La convención de suma de Einstein o convención de Einstein, fue introducida por este famoso científico en 1916. Es una aplicación bastante útil que nos ahorra cierto tiempo y nos hace la vida mucha más fácil y no está demás decir que realmente es una herramienta muy poderosa.

El concepto es bastante sencillo, ya que solo es una abreviación del ya conocido símbolo de sumatoria (Σ), el cual suprime este símbolo para solo trabajar con los índices. «la expresión abreviada se obtiene eliminando los signos de sumatorio y entendiendo que los índices repetidos en la expresión resultante indican suma sobre todos los posibles valores del índice´´ (wiki pedía). Debo añadir a este concepto sacado de wiki pedía, que esta convención es útil para cualquier elemento que lleve varias variables, desde vectores hasta tensores.

El numero de índices libres depende del tipo de objeto que estemos representando, 1 índice indica que el objeto es un vector y a partir de 2 índices el objeto se considero un tensor, ya sea un tensor de 2 índices de 3, 4,5, etc. quiero aclarar que un objeto con 0 índice es un escalar pero esto es solo como para completar, ya que tal definición no se usa.

Ahora ya con este pequeño concepto es suficiente, veamos cómo se usa, lo trabajare con vectores porque todos conocemos vectores.

En vectores el índice hace la función de las componentes del vector, como también puede ser asociada con una pila de vectores.

Sea el vector Ā (discúlpenme la notación, la raya arriba define una flecha, como se denota un vector), donde Ā es cualquier vector en el espacio, ahora en notación de índices el vector Ā se rescribiría de la siguiente manera

Ā= Aⁱ ē_i

Donde Aⁱ representa las componentes del vector Ā y los ē_i representan la base del sistema coordenado (puede ser un espacio curvilíneo o normal, cualquier plano coordenado), debo aclarar que en este post trabajare con el sistema cartesiano.

Al descomponer la notación, hay que darle valores a la i es decir que i barre los valores 1,2,3, quedando el vector de la siguiente manera.

Ā= A¹ ē₁ + A² ē₂ + A³ ē₃

Al ver esto no es muy difícil notar que el numero de valores que se le den a i denota el numero de dimensiones, es decir si i vale 1,2,3 significa que es un vector en 3 dimensiones y si i=1,2,3,4 es un vector de 4 dimensiones y así sucesivamente y quedaria de la siguiente manera.

Ā= A¹ ē₁ + A² ē₂ + A³ ē₃ + A⁴ ē₄

Otro ejemplo es el vector Ē puede ser definido como:

Ē= Eⁱ ē_i

De nuevo Eⁱ representan las componentes del vector Ē y los ē_i representan la base en que se proyectan estas componentes.

Nota: en general la posición de los índices importa si es arriba o abajo, o como se le llama índices covariantes y contravariantes respectivamente. Esto quiere decir que

Aⁱ ē_i ≠ A_i ēⁱ

Pero en el plano cartesiano no importa, en el futuro podría explicar si así Uds. lo piden.

Sabiendo cómo se define un vector podemos definir nuevas operaciones, por ejemplo el producto punto o escalar.

Ā.Ē= Aⁱ ē_i .E^j ē_j

ya que Aⁱ y E^j son escalares(recuerden que son las componentes) pueden salir del producto punto.

Ā.Ē= Aⁱ E^j ē_i. ē_j

Ahora nos queda el producto punto de los vectores bases es decir

ē_i. ē_j

Como dije anteriormente este objeto no puede ser otra cosa que un tensor de 2 índices ya que los índices no se repiten y quedan 2 índices libres. Bueno introduciré la definición de este objeto sin dar muchas explicaciones ya que esa es otra clase.

ē_i. ē_j = δ_ij

A este objeto se le llama métrica del espacio euclidio y esta definida de la siguiente manera

δ_ij= 1 sí i=j

δ_ij = 0 sí i≠j

De esta forma al resolver nos queda una matriz diagonal con solamente 1 en su diagonal, es decir

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Retomando la ecuación anterior

Ā.Ē= Aⁱ E^j ē_i. ē_j

Ā.Ē= Aⁱ E^j δ_ij

Ahora ya el producto punto toma forma ya que como es de esperarse no hay índices libres pueden ver que hay dos i y dos j, en general cuando un índice se repite significa que esta sumado, ya veremos

Al descomponer la notación tenemos

A¹ E¹ δ₁₁ + A¹ E² δ₁₂+ A¹ E³δ₁₃

A² E¹ δ₂₁ + A² E² δ₂₂ + A² E³ δ₂₃

A³ E¹ δ₃₁ + A³ E² δ₃₂ + A³ E³ δ₃₃

Recordemos que según la definición de la métrica del espacio euclidiano, vale 0 para cuando i≠j es decir que los índices δ_12, δ_13, δ_21, δ_23, δ_31, δ₃₂ =0

entonces solo sobreviven los términos de la diagonal, y volviendo a recordar que cuando i=j vale 1 es decir que los términos δ_11, δ_22, δ₃₃ =1.

Al sustituir nos queda lo que esperábamos del producto punto

Ā.Ē= A¹ E¹ + A² E² + A³ E³

Un gran resultado, aunque no reflaja al maximo las mejores habilidades de esta convención, hay que recordar que esto fue solo un pequeño ejemplo  muy sencillo para todos poder entender de que se trata esta convencion y lo util que puede ser.

Es todo por ahora. Saludos.

Fuente

Cultura general

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