Ecuaciones de Maxwell (II)

Las ondas electromagneticas fueron quizá el mayor logro teórico de la física en el siglo XIX. El primer indicio fue la relación imprevista entre los fenómenos eléctricos y la velocidad de la luz. Maxwell se da cuenta que la ley de Faraday y la ley de Ampère en su forma estatica eran extrañamente asimetricas. Además, Maxwell puso en evidencia cierta incongruencia en la ley de Ampere cuando los campos electricos variaban con el tiempo. Esta incongruencia se puede ver en la paradoja del condensador.
Como se ve en la figura 1. Si aplicamos la ley de Ampère a traves de la trayectoria de superficie azul nos da un campo eléctrico con un valor de: \displaystyle\vec{B}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r} y si aplicamos volvemos a aplicar esta ley nos queda \vec{B}=\vec{0}.

Para solucionar esto Maxwell introdujo un termino denominado “corriente de desplazamiento”, que se refiere a la variacion del flujo electrico respecto al tiempo. Esto permitio a Maxwell crear una teoría unificada de los fenomenos electricos y magneticos que explicaba completamente todos los fenómenos electromagneticos conocidos hasta entonces y aun más. La consecuencia mas tracendente fue la prediccion de las ondas electromagneticas que viajaban en el vacio a la velocidad de la luz, este hecho, resolvio el misterio de qué era la luz, la luz es una onda electromagnetica. Ahora iremos a la deduccion de tales ondas.

nota: estos calculos se hacen en un medio vacio, es decir, no hay corrientes ni cargas. \vec{J}=\vec{0}\quad\rho=0

nota 2: los vectores \vec{e}_x\quad\vec{e}_y\quad\vec{e}_z son unitarios en la direccion en que indica su subindice

Nos concentraremos en la situacion es de la figura de arriba, en campo electrico en con componente en el eje y y un campo magnetico con componente en el eje z. Es decir: \vec{E}=(0,E,0)\quad \vec{B}=(0,0,B).
Tenemos:
1) \displaystyle\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0
2) \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0
3) \displaystyle\vec{\nabla}\times\vec{B}=\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial   t}
4) \displaystyle\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial   t}.

Empezamos a desarrollar cada ecuacion.
De 1: \displaystyle\frac{\partial E_{y}}{\partial y}= 0. Esto lo que quiere decir es que el campo electrico no depende de y

De 2: \displaystyle\frac{\partial B_{z}}{\partial z}=0. Esta ecuacion al igual que la de arriba quiere decir que el campo magnetico no depende de la componente z.

De 3: \displaystyle\vec{\nabla}\times\vec{B}=\displaystyle\left|\begin{matrix}\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & B \end{matrix}\right| = \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial E}{\partial y}De aquí: \displaystyle\frac{\partial B}{\partial z} \vec{e}_x -\frac{\partial B}{\partial x} \vec{e}_y =\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial E}{\partial t} \vec{e}_y

Podemos deducir que: \displaystyle\frac{\partial B}{\partial y} \vec{e}_x = \vec{0} y tambien tenemos la ecuacion: \displaystyle\frac{\partial B}{\partial x} \vec{e}_y = -\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial E}{\partial t} \vec{e}_y. Aqui tambien vemos que el campo magnetico no depende de la componente y.

De 4: \displaystyle\vec{\nabla}\times\vec{E}=\left|\begin{matrix}\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & E & 0 \end{matrix}\right| =-\frac{\partial B}{\partial t}. Desarrollando este determinante e igualando nos quedan estas 2 ecuaciones: \displaystyle\frac{\partial E}{\partial x} \vec{e}_z= -\frac{\partial B}{\partial t} \vec{e}_z  y esta -\displaystyle\frac{\partial E}{\partial z} \vec{e}_x = \vec{0}. Aqui tambien vemos que el campo electrico no depende de la componente z.

La dependencia de los campos quedan asi:
\vec{B}_{x,y,z,t}\rightarrow\vec{B}_{x,t}
\vec{E}_{x,y,z,t}\rightarrow\vec{E}_{x,t}

Ahora nos vamos a quedar con estas 2 ecuaciones:
\displaystyle\frac{\partial B}{\partial x}=-\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial E}{\partial t}
\displaystyle\frac{\partial E}{\partial x}=-\frac{\partial B}{\partial t}.

Derivamos respecto a la distancia cada una nos queda:
1-\displaystyle\frac{\partial^2B}{\partial x^2}=-\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial E}{\partial x\partial t}

2-\displaystyle\frac{\partial^2E}{\partial  x^2}=-\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial B}{\partial x\partial t}

Ahora derivamos respecto al tiempo ambas:

3-\displaystyle\frac{\partial B}{\partial x\partial t}=-\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial^2E}{\partial t^2}

4-\displaystyle\frac{\partial E}{\partial x\partial t}=-\frac{\partial^2B}{\partial t^2}

Ahora si dividimos las ecuaciones 1 y 4 da: \displaystyle\frac{\partial^2B}{\partial x^2}=\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial^2B}{\partial t^2}
y dividiendo 2 y 3 nos da: \displaystyle\frac{\partial^2E}{\partial  x^2}=\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial^2E}{\partial t^2}.
Estas ecuaciones tienen la forma general de la ecuacion de onda:\displaystyle\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. De aqui se deduce que la velocidad de propagacion de estas ondas es:
\displaystyle v=\sqrt{\frac{1}{\epsilon_{0}\mu_{0}}}=3.10^8\frac{m}{s}. Aqui vemos que la velocidad de propagacion de la onda es la velocidad de la luz, aqui fue donde Maxwell vinculo la teoria electromagnetica con la optica. Bueno gente un abrazo espero que les haya gustado y si llegaron a leer esto es porque vencieron la tediosa matematica jaja.

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Una respuesta a Ecuaciones de Maxwell (II)

  1. Marico esta arrecho.. aunque no es algo que no haya visto antes xD

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