Demostración de componentes de vectores

Demostración de componentes covariantes y contravariantes

Retomando mi post anterior con la afirmación que deje: en general la posición de los índices importa si es arriba o abajo, o como se le llama índices contravariantes y covariantes respectivamente. Esto quiere decir que

A^i \vec{e_i}    \ne A_i \vec{e^i}

Esta demostración me parece un ejemplo bonito de esta notación, así que porque no compartirla y quien sabe tal vez a algunos les cambie sus conceptos de vectores que tanto nos distorsionaron en bachillerato.

Para empezar recurrimos a las definiciones anteriores de nuestros vectores en el plano cartesiano que es

A^i \vec{e_i}

Que son las componentes convariante de nuestro vector, también dijimos que en coordenadas cartesianas

A^i \vec{e_i} = A_i \vec{e^i}

Claro está que queremos que esta expresión sea en forma general, no solo para coordenadas cartesianas. Y demostrar que

A^i \vec{e_i} \ne A_i \vec{e^i}

Para eso tenemos que ver que un vector es único y en cualquier sistema coordenado el vector es igual. Es decir es indiferente del sistema coordenado en que se represente y lo que realmente varia son sus componentes. Recordando también que los \vec{e_i} es la representación de la nueva base de coordenadas, que en el plano cartesiano viene representado como \vec{e_1} , \vec{e_2} ,\vec{e_3} = x, y, z respectivamente, es decir

La base esta definida por los vectores tangentes \vec{e_i} y por lo tanto los nuevos vectores bases en general \vec{v_{i'}} quedan definidos como

\vec{v_{i'}} = { \partial \vec{r}}/{\partial q^{i'}}

Donde \vec{r} representa el vector y q^{i'} representa los parametros de la curva, recordando que

\vec{r} = x^i \vec{e_i}

Tenemos el vector \vec{r} = x^i \vec{e_i} al sustituir en los vectores bases nos queda

\vec{v_{i'}}=\frac{\partial x^i}{\partial q^{i'}}\vec{e_i}

\vec{v_{i'}} en funcion de los \vec{e_i} , es decir los nuevos vectores bases en funcion del sistema coordenado cartesiano, donde \vec{v_{i'}} es una base generica.

Ahora podemos pasar a definir, la nueva base en cualquier espacio en funcion de los vectores base \vec{e_i} . La cual llamaremos \vec{v_{i'}} (debo recordar que es solo una cuestion de notacion, es decir que le doy un nombre arbitrario, bien sea los nuevos vectores bases pueden definirce como \vec{a_{i'}} , \vec{b_{i'}} , \vec{u_{i'}} , etc.)

Quiero recoordar, que queremos hacer una exprecion general sobre las bases de vectores de una plano coordenado, y para eso he tomado la de el plano cartesiano y la estoy transformando a una nueva base generica.

Recordando que los vectores son iguales en cualquier plano coordenado hacemos la igualdad

A^i \vec{e_i} = A^{i'} \vec{v_{i'}}

Esta igualdad define, que el vector es igual en ambas bases, del lado derecho le he puesto unas primas a los indices apra denotar que son en coordenadas genericas. Luego sustituimos el valor de \vec{v_{i'}} y nos queda que

A^i \vec{e_i}=A^{i'} (\frac{\partial x^i}{\partial q^{i'}}\vec{e_i})

A^i =A^{i'} (\frac{\partial x^i}{\partial  q^{i'}})

Ahora tenemos las componetes contravariantes en el sistema cartesiano con respecto al general, pero queremos el general respecto al cartesiano, y para eso multiplicamos por la inversa de  (\frac{\partial x^i}{\partial  q^{i'}})

[A^i =A^{i'} (\frac{\partial x^i}{\partial  q^{i'}})] (\frac{\partial  q^{i'}}{\partial x^i})

A^{i'} = A^i \frac{\partial  q^{i'}}{\partial x^i}

De este modo encontramos las componentes contravariantes de nuestro vector en un sistema general, ya tenemos una parte.

Para la segunda parte, tengo que definir la metrica, ya que con la metrica podemos tranformar componentes contravariantes a covariantes, y viceversa. La metrica es la representacion del espacio en que nos encontramos, matematicamente se presenta como el producto punto de los vectores bases

g_{i'k'} = \vec{v_{i'}} . \vec{v_{k'}}

Como tiene 2 indices libres la metrica es un tensor y quedea definida de la siguiente manera

g_{i'k'} = \left(\begin{matrix} \vec v_1.\vec v_1 & \vec v_1.\vec v_2 & \vec v_1.\vec v_3 \\\vec v_2.\vec v_1 & \vec v_2.\vec v_2 & \vec v_3.\vec v_3 \\ \vec v_3.\vec v_1 & \vec v_3.\vec v_2 & \vec v_3.\vec v_3\end{matrix}\right)

Pero aqui entra el juego el poder de la convencion de einstein, y sustituimos los \vec{v_{i'}} y los \vec{v_{k'}} es decir

g_{i'k'} = \frac{\partial x^m}{\partial q^{i'}}\vec{e_m} . \frac{\partial x^n}{\partial q^{k'}}\vec{e_n}

g_{i'k'} = \frac{\partial x^m}{\partial q^{i'}}   \frac{\partial x^n}{\partial q^{k'}}  \vec{e_m} . \vec{e_n}

g_{i'k'} = \frac{\partial x^m}{\partial q^{i'}}   \frac{\partial  x^n}{\partial q^{k'}}  δmn

Y asi queda definida la metrica en un espacio generalizado. Luego vuelvo a recoordar que con la metrica podemos bajar y subir indices es decir

A_{k'} = g_{i'k'} A^{i'}

Tenemos la metrica y los vectores contravariantes luego sustituimos ambos y tenemos

A_{k'} =  \frac{\partial x^m}{\partial q^{i'}}   \frac{\partial   x^n}{\partial q^{k'}}  δmn \frac{\partial  q^{i'}}{\partial x^i} A^i\

A_{k'} =  \frac{\partial x^m}{\partial q^{i'}}   \frac{\partial   x^n}{\partial q^{k'}}  \frac{\partial  q^{i'}}{\partial x^i} δmn A^i

\frac{\partial x^m}{\partial q^{i'}}   \frac{\partial q^{i'}}{\partial x^i} por propiedades de derivadas tenemos que esta derivad es

\frac{\partial x^m}{\partial x^i} =   δmi

A_{k'} =  \frac{\partial x^n}{\partial q^{k'}} δmi δmnAi

A_{k'} =  \frac{\partial x^n}{\partial q^{k'}} A_n

Y asi obtenemos las componentes covariantes del vector, alcomprar con las contravariantes nos queda

A^{i'} = \frac{\partial  q^{i'}}{\partial x^i} A^i

A_{k'} =  \frac{\partial x^n}{\partial q^{k'}} A_n

Ahora matematicamente probamos que no son las mismas componentes. Ahora ya vayamos al significado grafico, que si no entienderon nada de lo pasado, esto se los aclarara por completo.

Primero explicare el de coordenadas cartesianas (fig 1.) En coordenadas cartesianas es igual colocar los indices arriba o abajo, ya que al trazar una perpendicular con los ejes, estos dan lo mismo es decir que

Figura 1

luego en coordenadas generales (no generales ya que usara un caso particular para hacer esta demostracion) vemos que al trazar lineas perpendiculares a los ejes, estos denotan diferentes tipos de coordenadas como podemos ver fig2.

figura 2

Esto es todos, saludos.

Fuentes:

Cultura general.

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6 respuestas a Demostración de componentes de vectores

  1. Orrece dijo:

    hOLA XDD PASATE POR MI FLOG! Y EFFEAME XDD

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    Madre pro ese juan, buen post amigo *-*
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    • justjammin dijo:

      WwOo00llLllaaA@ peE3ea@aRrRrRAxXx Nn000o MmMmEe3e DddejJJa@zzZtTte33 tTuvuvu fFfLlIlo00gGgg xD

      merci romantique veau

  2. elgeokareem dijo:

    marico los 2 son repugnantes, mira aclarame que es una base che D:

    • justjammin dijo:

      relajate elgeokareen dejalo fluir
      base es una droga burda de buena xDjaja
      marico una base vectorial, como una representacion del sistema coordenado, algo asi Dx por eso puse el ejemplo de plano cartesiano

  3. William no te quedo nada de mate 3? que mierda eres D:

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