Divergencia (parte I)

Divergencia en sistemas curvilíneos

Buenas, hoy les traigo este post sobre la divergencia expresada de manera general para cualquier espacio, que para algunas personas se le hará interesante, sin embargo no podre hacer el post tan fluido ya que habrán ciertos términos que no demostrare ni explicare de donde salen, pues entonces el post se hará muy largo y aun más tedioso, este será la primera de dos partes, que consiste en el calculo general y para la segunda parte ya aplicare estos calculos a un ejemplo concreto

Primero mostrare como es la derivada de un vector respecto de un parámetro λ

\frac{d\vec{r}}{d\lambda}

Usando la notación de índices para  \vec {r}  , recordando que usaremos un vector generalizado

\frac{d(x^i \vec{\epsilon}_i)}{d\lambda}

Al derivar este producto por la regla de la cadena ( leibniz ) obtenemos

\frac{d(x^i\vec{\epsilon}_i)}{d\lambda} = \frac{dx^i}{d\lambda}\vec{\epsilon}_i + \frac{d\vec{\epsilon}_i}{d\lambda}x^i

Con el primer termino no hay problema es la derivada de la componente, pero con el segundo termino ya está un poco más difícil ya que es la derivada de la base, en un espacio ortogonal este término se hace 0 ya que la base no depende de parámetros es decir es constante, no obstante en un espacio no ortogonal la base de vectores cambia según el punto en que se encuentre, depende de parámetros, por lo que he dicho al principio de este post este será un término que introduzca sin mucha explicación casi por definición y así

\frac{d\vec{\epsilon}_i}{d\lambda} = \Gamma_{jk}^i\dot{q}^j\vec{\epsilon}_i

\dot{q} es la derivada con respecto al parámetro q (pueden revisar mi post anterior para saber porque es así, si no lo encontraron o les da flojera pueden preguntarlo)

\Gamma^i_{jk}  es el símbolo de christoffel

Volvemos a nuestra ecuación, al sustituir tenemos

\frac{d(x^i\vec{\epsilon}_i)}{d\lambda} =\frac{dx^i}{d\lambda}\vec{\epsilon}_i + \Gamma_{jk}^i\dot{q}^jx^k\vec{\epsilon}_i

Sacando factor comun \vec{\epsilon}_i  tenemos que

\frac{d(x^i\vec{\epsilon}_i)}{d\lambda}  = (\frac{dx^i}{d\lambda} +  \Gamma_{jk}^i\dot{q}^jx^k)\vec{\epsilon}_i

Este término entre paréntesis se le llama derivada absoluta y es con lo que trabajaremos ahora

\frac{Dx}{D\lambda} = \frac{dx^i}{d\lambda} + \Gamma_{jk}^i\dot{q}^jx^k

\frac{Dx}{D\lambda} = \frac{\partial x^k}{\partial q^j}\dot{q}^j + \Gamma_{jk}^i\dot{q}^jx^k

De nuevo la \dot{q}^j se obtiene de la manera anterior (recuerden si no lo vieron pregunten), aplicamos factor común con \dot{q}^j

\frac{Dx}{D\lambda} = (\frac{\partial x^k}{\partial q^j} + \Gamma_{jk}^ix^k)\dot{q}^j

Ya hemos llegado a nuestro destino, el objeto que se encuentra entre paréntesis se puede definir como \bigtriangledown_ix^k es decir

\bigtriangledown_ix^k = \frac{\partial x^k}{\partial q^j} + \Gamma_{jk}^ix^j

La divergencia se trabaja como un escalar o producto escalar, recordando como definí el producto escalar en mi post anterior(me disculpan que ese post no lo hice con latex y el calculo se ve feo) aplicamos eso a esta nueva expresión, es decir igualamos los índices \bigtriangledown_ix^k y obtenemos la divergencia en cualquier sistema coordenado

\bigtriangledown_ix^i = \frac{\partial x^i}{\partial q^i} + \Gamma_{ij}^ix^j

\bigtriangledown_ix^i = \partial _ix^i + \Gamma_{ij}^ix^j

Y aquí la tenemos ahora explicare esta definición a coordenadas cartesianas, pero primero retomare el símbolo de christoffel y lo definiré de la siguiente manera

\Gamma_{jk}^i = \frac{1}{2}g^{im}(\partial_j g_{mk} + \partial_k g_{mj} - \partial_m g_{jk})

Para nuestro caso queda definida de esta manera

\Gamma_{ij}^i = \frac{1}{2}g^{ik}(\partial_i g_{jk} + \partial_j g_{ik} - \partial_k g_{ij})

Las g son los tensores métricos, que en el caso particular de coordenadas cartesianas es un tensor de la forma

g_{ik} = \left(\begin{matrix} 1  & 0 & 0 \\ 0  & 1 & 0 \\ 0  & 0 & 1\end{matrix}\right)

Y al ver la expresión para calcular el símbolo de christofell en coordenadas cartesianas vemos que este termino se hace 0(ya que la derivada de la metrica es 0) y nos queda únicamente

\bigtriangledown_ix^i = \partial _ix^i

Es decir como todos conocemos la divergencia en coordenadas cartesianas

\vec{\nabla} . \vec{r} = \partial_xx^x + \partial_yx^y + \partial_zx^z

Sabiendo que la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, este resultado se debe mantener sin importar en que sistema coordenado se represente el campo vectorial (un escalar es un número y no depende del sistema coordenado). Ahora bien para un espacio no ortogonal la métrica depende de variables es decir que el símbolo de christoffel no es 0 y hay que tomarlo en cuenta como veremos en la parte II de este post.

Y para despedirme les dejo este link donde hablan un poco sobre estos cálculos y para aquellos que nos les gusta el cálculo pero igual sienten curiosidad ilustrare el teorema de la divergencia (nota: el teorema de la divergencia no es la divergencia en sí) en el siguiente ejemplo.

Imagínense un rio que está bajando, este baja con cierta velocidad, la velocidad se puede representar como un vector y en cada punto del rio la velocidad puede variar, así que este será nuestro campo vectorial (las velocidades, como se ilustran en rojo en el dibujo), ahora supóngase que el rio pasa por un puente este será nuestra área (área en negro del dibujo), ahora bien el teorema de la divergencia consiste en el flujo de un campo vectorial atreves de una superficie o área, en esta caso el teorema de la divergencia nos diría el flujo de la velocidad atreves de esta área.

El teorema de la divergencia está dada como

No se asusten no es algo difícil, el lado izquierdo es una integral de volumen sobre el volumen V (en nuestra caso el volumen es el área del puente), el lado derecho es la integral de superficie sobre la frontera del volumen V (este sería como el cascaron de nuestro puente es decir la superficie del puente), F es el campo vectorial (en nuestro caso sería el campo de velocidades del rio). Más precisamente, el teorema de divergencia es el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada (lado derecho de la ecuación) es igual a la integral de volumen de la divergencia en la cara interna de la superficie (lado izquierdo de la ecuación). Lo que quiero ilustrar en estos post es que el cálculo de la divergencia depende del espacio en que se represente el campo vectorial pero el resultado se mantiene, y para aquellos que hayan visto esto en clases podrán decirme “pero bueno a mi me dieron el cálculo de de la divergencia(o el teorema de la divergencia) en coordenadas esféricas, cilín
dricas…” para esas personas, el hecho de que la divergencia se calcula como en coordenadas cartesianas(
\vec{\nabla} . \vec{r} = \partial_xx^x + \partial_yx^y + \partial_zx^z ) es porque esas coordenadas esféricas, cilíndricas, cónicas, etc… están expresadas en la base de los vectores del espacio euclídeo(x,y,z) lo visualizaremos mejor en el próximo post.

Fuentes: cultura general

Saludos.

PD: elgeokareem gracias por ayudarme con el latex… (sarcasmo)

Primero mostrare como es la derivada de un vector respecto de un parámetro λ

d \vec {r}/ d λ

Usando la notación de índices para  \vec {r}

d \vec {X^i \vec{\epsilon}_i}/ d λ

al derivar este producto por la regla de la cadena () obtenemos

dA^i/ d λ e_i + de_i/d λ A^i

\vec{\nabla} . \vec{F} = \partial f_x/\partial x + \partial f_y/\partial y + \partial f_z/\partial z

Sabiendo que la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, este resultado se debe mantener sin importar en que sistema coordenado se represente el campo vectorial (un escalar es un numero y no depende del sistema coordenado).

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4 respuestas a Divergencia (parte I)

  1. orrece dijo:

    neah men que relativista eres

  2. elgeokareem dijo:

    Siempre a la orden men! Buen post loco

  3. justjammin dijo:

    Gracias, nah yo no soy ningun relativista soy sendo pollito dirian por ahi.

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