Divergencia (parte II)

Divergencia en sistemas curvilíneos

Buenas, hoy les traigo la segunda parte del post anterior y debo decirles que el post se me ha hecho muy largo y dividiré este post en dos partes, es decir que aun me falta una tercera parte pero bueno… como dije en el post anterior este post se tratara de un ejemplo concreto de lo que vimos anteriormente, el ejemplo consiste en la demostración de la divergencia en coordenadas esféricas y cartesianas, empezaremos con las cartesianas y el próximo post será el de esféricas.

Empezare como en el otro post con la derivada de un vector respecto a un parámetro podemos observar que la derivada de un vector en coordenadas cartesianas, es igual a la derivada de las componentes, lo deducimos de la siguiente expresión

\frac{d(x^i\vec{e}_i)}{d\lambda} = \frac{dx^i}{d\lambda}\vec{e}_i + \frac{d\vec{e}_i}{d\lambda}x^i

Como ya deberían saber la base \vec{e}_i no depende de ningún parámetro es decir que es constante y por lo tanto su derivada es 0 y nos queda que

\frac{d(x^i\vec{e}_i)}{d\lambda} = \frac{dx^i}{d\lambda}\vec{e}_i

Esto significa que la derivada de un vector es igual a la derivada de sus componentes en un espacio ortogonal, escribo esto como conocimiento general, igual hare todo el ejercicio para demostrar la divergencia, que son las derivadas parciales del vector. También para reflejar un punto importante que tocare en el próximo post que es que la derivada de un vector es un vector, y que en un espacio no ortogonal se aplica de una manera curiosa.

Siguiendo con el tema de la divergencia, tenemos las siguientes dos definiciones para continuar, que son la propia expresión de la divergencia y el símbolo de christoffel

\bigtriangledown_ix^i = \partial _ix^i + \Gamma_{ij}^ix^j

\Gamma_{ij}^i = \frac{1}{2}g^{ik}(\partial_i g_{jk} + \partial_j g_{ik} - \partial_k g_{ij})

Y el vector que usaremos será el vector \vec{r} = ( x, y, z)

Es fácil de ver que \Gamma_{ij}^i = 0 veamos la definición de como calcular el símbolo de christoffel, vemos que la métrica g^{ik} multiplica un factor que está entre paréntesis, que consiste en las derivadas de las componentes de la matriz de la métrica y estos son ceros y unos. Algo que debo denotar es que g^{ik} es la inversa de g_ik

g_{ik} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right)

Y su inversa

g^{ik} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right)

Ahora hare un ejemplo de cómo calcular el símbolo de christoffel y lo que haremos es darle valores a los índices de la gamma(expandiendo la notación de Einstein) recordando que si hago la i=1 los demás índices i serán igual a 1, le damos valores del 1 al 3( ya que hablamos de 3 dimensiones)

\Gamma_{ij}^i = \frac{1}{2}g^{ik}(\partial_i g_{jk} + \partial_j g_{ik} - \partial_k g_{ij})

\Gamma_{1j}^1 = \frac{1}{2}g^{1k}(\partial_1 g_{jk} + \partial_j g_{1k} - \partial_k g_{1j})

\Gamma_{2j}^2 = \frac{1}{2}g^{2k}(\partial_2 g_{jk} + \partial_j g_{2k} - \partial_k g_{2j})

\Gamma_{3j}^3 = \frac{1}{2}g^{3k}(\partial_3 g_{jk} + \partial_j g_{3k} - \partial_k g_{3j})

Y así siguen con todos los términos, no los hare todos porque son muchos términos y a la final todos dan 0 por lo que ya he mencionado antes, pero tomare uno como ejemplo para explicarles como es la cosa, en algún momento nos toparemos con algo como esto

\Gamma_{21}^2 = \frac{1}{2}g^{21}(\partial_2 g_{11} + \partial_1 g_{21} - \partial_1 g_{21})

He hecho los índices i=2 j=1 k=1, ahora vemos que las matriz tiene índices y como nos enseñaron en bachillerato estos significan índice de fila y columna de manera ilustrativa escribiré la matriz con sus componentes y los índices que están solos los sustituimos por las coordenadas en que se presenta el vector, así que estos los remplazare por sus coordenados es decir 1=x, 2=y y 3=z

g_{ik} = \left(\begin{matrix} g_{11} & g_{12} & g_{13} \\ g_{21} & g_{22} & g_{23} \\ g_{31} & g_{32} & g_{33}\end{matrix}\right)

Luego buscamos en nuestra métrica los valores que le correspondan obtenemos

\Gamma_{21}^2 = \frac{1}{2}g^{21}(\partial_2 g_{11} + \partial_1 g_{21} - \partial_1 g_{21})

\Gamma_{21}^2 = \frac{1}{2}g^{0}(\partial_y 1 + \partial_x 0 - \partial_x0)

\Gamma_{21}^2 = 0

Vemos la métrica g_{ik} , revisamos estos valores y vemos que g_{11}=1, g_{21}=0, g_{21}=0, g^{21}=0

Veamos otro ejemplo

\Gamma_{33}^3 = \frac{1}{2}g^{33}(\partial_3 g_{33} + \partial_3 g_{33} - \partial_3 g_{33})

He hecho todos los índices igual a 3, otra vez revisamos las componentes de la métrica y sustituimos

\Gamma_{33}^3 = \frac{1}{2}1(\partial_z1+ \partial_z1 - \partial_z 1)

\Gamma_{33}^3 = \frac{1}{2}(0+ 0 -0)

\Gamma_{33}^3 = 0

Y así pasa con todos los términos, pueden hacerlo Uds. mismos aunque no es necesario pueden verlo directamente de la definición del símbolo de christoffel, que lo que está entre paréntesis son las derivadas parciales de las componentes de la métrica, y como la métrica es constante, estas derivadas son igual a 0, y terminamos concluyendo que

\bigtriangledown_ix^i = \partial _ix^i + 0x^j

El 0 es el símbolo de christoffel… expandamos la notación de Einstein

\vec{\nabla} . \vec{r} = \partial_1x^1 + \partial_2x^2 + \partial_2x^2

\vec{\nabla} . \vec{r} = \partial_xx^x + \partial_yx^y + \partial_zx^z

\vec{\nabla} . \vec{r} = \partial_xx + \partial_yy + \partial_zz

\vec{\nabla} . \vec{r} = 1 + 1 +1

\vec{\nabla} . \vec{r} = 3

Bueno esto es todo por este post, así que esperen el próximo post que será más interesante que este, ya que el símbolo de christoffel no se hace 0.

Saludos.

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