Optica (II)

En este post demostrare que en la refleccion el angulo de incidencia es igual al angulo con el que “sale” o “rebota”. Para esto tomaremos el principio de Fermat: Entre diferentes trayectorias que la luz puede tomar, la luz elige la trayectoria que le tome menos tiempo llegar a su destino. Es decir, la luz siempre toma el camino mas corto entre 2 puntos. Para demostrar esto usaremos optimizacion, es decir, maximos y minimos de funciones. Partimos de 2 puntos en el espacio como en la figura.

El punto A tiene coordenadas (0,y_a) y el punto B (x_{b},y_{b}). Del punto A parte un rayo de luz que rebota (en el eje x) y llega al punto B entonces, la linea que une al punto A con el punto P (punto donde rebota el rayo) la llamamos L_{1} y la que parte del punto P al punto B la llamamos L_{2}. Si es así, la trayectoria total tiene dada por: L=L_{1}+L_{2}, donde en cartesianas equivalen a escribir: \sqrt{x^2+y_{a}^2} y \sqrt{(x_{b}-x)^2+y_{b}^2}. Además de esto la tiempo total del haz de luz en recorrer todo el trayecto es: \displaystyle t=t_{ap}+t_{pb}=t_{1}+t_{2}=\frac{L_{1}}{v}+\frac{L_{2}}{v}. Esta última igualdad viene de la formula mas antigua de la física : d=vt. Así ya tenemos la funcion t_{x}, es decir, el tiempo en función de la posición.

t_{x}=\displaystyle\frac{1}{v}(\sqrt{x^2+y_{a}^2}+\sqrt{(x_{b}-x)^2+y_{b}^2})

El paso siguiente es tomar la derivada e igualar a cero (para ver el tiempo mínimo que le toma llegar al punto B). Después de unos calculos nos que la siguiente expresión:

\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+y_{a}^2}}-\frac{x_{b}-x}{\sqrt{(x_{b}-x)^2+y_{b}^2}}=0

\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+y_{a}^2}}=\frac{x_{b}-x}{\sqrt{(x_{b}-x)^2+y_{b}^2}}.

Aquí podemos ver que se cumple la siguiente igualdad:

\sin(\theta_{i})=\sin(\theta_{i}') lo que indica que \theta_{i}=\theta_{i}'

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3 respuestas a Optica (II)

  1. justjammin dijo:

    hechale vaselina a ese post men, esta bueno igual xD

  2. Alejandra dijo:

    ¿Estás diciendo que la luz es floja?… no te metas con la luz porque después no te va a visitar a tu casa…

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