Asistencia Gravitacional II

Asistencia Gravitacional

En una entrada pasada hable sobre la asistencia gravitacional en general. En esta segunda parte del tema, hare un breve ejemplo sobre la aplicación de la asistencia gravitacional.

Tomare como ejemplo el paso de la sonda cassini por el planeta de Júpiter. No es exactamente igual a lo que paso pero es una buena ilustración del tema.

Para este ejercicio llegare al calculo de la velocidad después del encuentro por medio de dos formas. De modo que de manera general tenemos la situación siguiente:

Figura 1

Usando las transformaciones galileicas para la velocidad (la derivada de la posición).

Figura 2

Los significados de los índices de los vectores son:

\vec{v}_j la velocidad de la sonda con respecto a Júpiter.

\vec{v}_s es la velocidad de la sonda con respecto al sol.

\vec{V}_{sj} es la velocidad de Júpiter con respecto al sol.

Los vectores que no tienen prima es la situación en el inicio, y los vectores primados son para el final del encuentro.

De modo que tenemos para la situación inicial (morado):

\vec{v}_j = \vec{v}_s + \vec{V}_{sj}

Si tomamos en cuenta que el encuentro es totalmente lineal, podemos representar las magnitudes de los vectores como estos mismos, de manera:

v_{j} = v_{s} + V_{sj}

Para la parte final del encuentro:

\vec{v}_{j'} = \vec{v}_{s'} + \vec{V}_{sj'}

v_{j'} =v_{s'} - V_{sj'}

El despeje es con la velocidad de la sonda con respecto a Júpiter, ya que esta velocidad respecto al planeta no cambia, porque de la misma manera que Júpiter atrae a la sonda en el inicio, al final del encuentro cuando la sonda se aleja Júpiter la ”jala” y termina con la misma velocidad de manera que:

\vec{v}_j = \vec{v}_{j'}

Despejando &latex v_s’ $ tenemos:

v_{s'} = v_{s} + V_{sj'} + V_{sj}

Como la velocidad de Júpiter con respecto al sol antes y después del encuentro es relativamente la misma podemos agruparlas.

v_{s'} = v_{s} + 2V_{sj}

El resultado que obtuve en el post anterior.

La otra manera que usare para calcular esta velocidad es por el método de colisiones.

Tomando en cuenta que el choque es de manera elástica, su energía mecánica se conserva, y ya que el tiempo que tarda esta colisión es relativamente pequeña comparada al tiempo estelar de este cuerpo, podemos proponer que el momento lineal también se conserva ya que como el tiempo en que transcurre esta colisión es ’’pequeño’’ las fuerzas externas del sistema no hacen efecto sobre este. De manera que la situación planteada es la siguiente:

P_i = P_f y E_{m_i} = E_{m_f}

Figura 3

Donde el subíndice s es para la sonda y j para Júpiter. De manera que para el momento lineal inicial  y final tenemos:

P_i = P_{i_s} + P_{i_j}

P_f = P_{f_s} + P_{f_j}

P_i = P_f

P_{i_s} + P_{i_j} = P_{f_s} + P_{f_j}

m_sv_s + m_jV_j = m_sv_s' + m_jV_j' (1)

Agrupando para las masas tenemos:

m_s(v_s - v_s') = m_j(V_j' - V_j) (2)

Y para la conservación de la energía, podemos ver que solo hay energía cinética ya que la potencial gravitacional si fijamos nuestro punto Ug=0 en el inicio de la colisión al terminar lo colisión se encuentra en este mismo lugar donde la energía potencial es igual a 0 (ver Figura 3) de manera que:

E_{m_i} = E_{m_f}

E_{m_i} = k_{i_s} + k_{i_j}

E_{m_f} = k_{f_s} + k_{f_j}

k_{i_s} + k_{i_j} =k_{f_s} + k_{f_j}

\frac{1}{2} m_sv_s^2 + \frac{1}{2}m_jV_j^2 = \frac{1}{2}m_sv_s'^2 +\frac{1}{2}m_jV_j'^2

m_sv_s^2 + m_jV_j^2 = m_sv_s'^2 + m_jV_j'^2

Multiplique por 2 ambas expresiones y ahora se agrupan los términos de cada lado en base a sus masas que no varían, de manera:

m_sv_s^2 + m_sv_s'^2 = m_jV_j'^2 - m_jV_j^2

m_s(v_s^2 - v_s'^2) = m_j(V_j'^2 - V_j^2) (3)

Dividiendo la expresión 3 entre la 1 tenemos:

\frac{m_s(v_s^2 - v_s'^2) = m_j(V_j'^2 - V_j^2)}{m_s(v_s - v_s') = m_j(V_j' - V_j)}

\frac{m_s(v_s - v_s')(v_s + v_s') = m_j(V_j' - V_j)(V_j' + V_j)}{m_s(v_s - v_s') = m_j(V_j' - V_j)}

Al hacer esta operación obtenemos:

v_s + v_s' = V_j' + V_j

Despejando para V_j' :

V_j' = v_s' + v_s - V_j

Al sustituir este valor en 1 tenemos:

m_sv_s + m_jV_j = m_sv_s' + m_j(v_s' + v_s - V_j)

Despejando v_i' :

v_s' = \frac{m_s - m_j}{m_s + m_j}v_s + \frac{2m_j}{m_s + m_j}V_j  (4)

Si tomamos en cuenta que la masa de Júpiter es mucho más grande que la de la sonda al hacer las operaciones que multiplican la velocidad serán más o menos igual a 1, es decir.

Si m_j >>>m_s entonces

\frac{m_s - m_j}{m_s + m_j} \cong 1   y \frac{2m_j}{m_s + m_j} \cong 2

De manera que al tomar en cuenta esto en (4) obtenemos el mismo resultado que obtuvimos previamente es decir:

v_{s}' = v_{s} + 2V_{j}

Ahora para tener una idea de la velocidad luego del encuentro con Júpiter de la sonda cassini, tomemos en cuenta que la velocidad de Júpiter con respecto al sol en promedio es V_j=13,0697 km/s y la velocidad de la sonda antes de llegar a Júpiter es de v_s= 12km/s .

v_{s}' = v_{s} + 2V_{j}

v_{s}' = 12\frac{km}{s} + 2*13\frac{km}{s}

v_{s}' = 38km/s

Aquí les dejo unos videos sobre el recorrido de la sonda cassini.

Saludos.

Notas:

1-cada planeta pierde un poco de velocidad que gana la sonda. Para el planeta, está perdida de velocidad es tan pequeña de manera infinitesimal, pero para la sonda la ganancia no.

2- estos cálculos de la trayectoria no son perfecto y eventualmente se van corrigiendo la posición de la sonda durante el trayecto.

3- Pueden hacer el cálculo de \frac{m_s - m_j}{m_s + m_j} \cong 1   y \frac{2m_j}{m_s + m_j} \cong 2 tomando en cuenta que la masa de jupiter m_j = 1,899*10^27 kg y la masa de la sonda cassini m_s = 5712 kg que es el peso con todo y combustible.

4- Como dije anteriormente, esta es una ilustración ya que tome el movimiento totalmente lineal, y si ven la sonda invirtió su dirección. Las verdaderas velocidades de casinni son:

La trayectoria:

Fuentes: yo he hecho este análisis ya que no encontré una fuente de donde guiarme.

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Una respuesta a Asistencia Gravitacional II

  1. orrece dijo:

    Ese juan si es mente.

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