El magnetismo y más allá…

El magnetismo

Tenemos un conductor rectilineo por el que circula una corriente i´hacia la derecha (debido al movimiento de las cargas negativas hacia la izquierda) tenemos igual densidad de cargas tanta postiva como negativa, para hacer el calculo un poco mas facil usaremos desidades de cargas lineales, se coloca una particula cargada a una distancia r del conductor esta no experimenta fuerza electrica o magnetica ya que la densidad de carga neta es nula, tenemos la siguiente situacion:

suponiendo que en un tiempo \bigtriangleup t' la carga  \bigtriangleup q'   que pasa por un punto determinado es la contenida en una distancia v \bigtriangleup t'

\bigtriangleup q' = \lambda_-' v \bigtriangleup t'

donde \lambda_-' es la densidad de carga de electrones y que tambien existe una densidad de carga de protones que defeniremos como \lambda_+' ,(esta carga positiva se encuentra en reposo) recordando que la corriente es la carga que pasa por unidad de tiempo tenemos:

i'=\frac{\bigtriangleup q'}{\bigtriangleup t'} = \frac{\lambda_-' v \bigtriangleup t'}{\bigtriangleup t'}=\lambda_-' v

De este sistema sacamos las sencillas concluciones de que la particula q se encuentra en reposo, no hay fuerzas netas sobre ella.

Ahora analizaremos la situacion con un cambio en el marco de referencia S, tomaremos un marco de referencia que se mueva con una velocidad \vec{v} hacia la izquierda., con respecto al marco de referencia S’ es decir:
Ahora bien en esta situacion vemos que las cargas negativas ahora son las que estan en reposo pues estas dijimos que se movian hacia la izquierda y como ahora el sistema de referencia tambien se mueve hacia la izquierda pues el efecto que da es que estas cargas negativas estan en reposo, analogamente las cargas positivas que antes estaban en reposo ahora aparecen con una velocidad \vec{v} hacia la derecha, al igual que el marco de referencia S’. De acuerdo a la teoria de la relatividad especial, si la carga total es la misma en ambos sistemas de referencia, las densidades de carga no seran iguales, ya que si por ejemplo tenemos N cargas positivas en una longitud l’ en el sistema de referencia previo, estas cargas ahora estarian alojadas en una longitud mas corta l relacionada con l’ por la contraccion de lorentz

l=\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2} }l'

entonces tenemos que la densidad de carga en este marco de referencia sera

\lambda_+=\frac{\lambda_+'}{\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2} }l'}

y por la misma razon podemos decir que la densidad lineal de cargas negativas ahora sera menor, ya que en una distancia l en este sistema contiene un muero determinado de cargas negativas en este sistema se vera contraida en el sistema original en el que se mueve con velocidad \vec{v} y tenemos que

\lambda_-=\lambda_-'\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}}l'

Ahora vemos que las densidades lineales no son nulas en este sistema de referencia y tendremos una densidad de carga neta dada por \lambda_n=\lambda_+ - \lambda_- y por ende existira un campo electrico que actua sobre nuestra particula con carga q,  como la densidad de carga neta es postiva y la carga es positiva existira una fuerza que tiende a alejar la particula del conductor dada por:

E = \frac{2k\lambda_n}{r} = \frac{2k(\lambda_+ - \lambda_-)}{r} (1)

E = \frac{2k\lambda_+( 1 - \frac{\lambda_-}{\lambda_+})}{r}

donde k=\frac{1}{4\epsilon_0\pi}

y la relacion \frac{\lambda_-}{\lambda_+} = \frac{\lambda_-'\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}}l'}{\frac{\lambda_+'}{\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2} }l'}} = (1- \frac{v^2}{c^2})\frac{\lambda_-'}{\lambda_+'}

recordemos que las lamdas en el sistema primo eran de la misma desidad tenemos que

\frac{\lambda_-}{\lambda_+} = 1- \frac{v^2}{c^2}

sustituyendo en el campo electrico

E = \frac{2k\lambda_+(1-1-\frac{v^2}{c^2})}{r} =\frac{2k\lambda_+v^2}{c^2r}

y la corrientes es  i=\lambda_+ v

E = \frac{2kiv}{c^2r}

y la fuerza que experimenta la particula q es

F_E = qE = \frac{2qkiv}{c^2r} (2)

Ahora tenemos que la particula experimenta una aceleracion alejandoce del conductor, pero esto no es lo que sucede porque recordando que en el sistema primo la particula esta en reposo, entonces debe existir otra fuerza que actue sobre la carga q en este sistema para que las fuerza electrica se equilibre. Usando la definicion de la segunda ley de newton tenemos:

\vec{F_E}= \frac{d\vec{p}}{dt} y la nueva fuerza sera \vec{F'}= \frac{d\vec{p}'}{dt'} como el momento lineal se conserva \vec{p}=\vec{p}' y con la contracion de lorentz dt' = \frac{dt}{\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}}}

F' = F_E\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}} sustituyendo la fuerza electrica con el campo dado en (1) tenemos:

E = \frac{2k\lambda_n}{r} = \frac{2k(\lambda_+ - \lambda_-)}{r}   donde \lambda_+ - \lambda_- = \frac{\lambda_+'}{\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2} }l'} - \lambda_-'\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}}l'   haciendo esta operacion nos queda que

\lambda_+ - \lambda_- = \frac{\lambda_-'\frac{v^2}{c^2}l'}{\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}}}

E = \frac{2k\frac{\lambda_-'\frac{v^2}{c^2}l'}{\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}}}}{r}

F_E = qE = \frac{2qk\frac{\lambda_-'\frac{v^2}{c^2}l'}{\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}}}}{r}

F' = F_E\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}}

F' = \frac{2qk\frac{\lambda_-'\frac{v^2}{c^2}l'}{\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}}}}{r}\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}}

F' = \frac{2qk\lambda_-'v^2l'}{rc^2}

F' = \frac{2qki'v}{rc^2}

F' = \frac{qi'v}{2\epsilon_0\pi rc^2}

F' = \frac{\mu_0qi'v}{2\pi r} que coincide con la fuerza magnetica de un cable infinito

donde \mu_0 = \frac{1}{\epsilon_0c^2}

de igual modo de (2) podemos deducir el campo magnetico

F_E = qE = \frac{2qkiv}{c^2r} (2)

F_B = qvB como la fuerza magnetica tiene el mismo valor que la fuerza electrica en dos tenemos

\frac{2qkiv}{c^2r} = qvB

\frac{2ki}{c^2r} = B

B=\frac{2ki}{c^2r} =\frac{\mu_0i}{2\pi r}

que coincide con la ley de Biot-Savart para un cable infinito

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